4 novembre 2024
La soluzione di tre problemi di Hilbert
I 23 problemi di Hilbert
I 23 problemi formulati da Hilbert all’inizio del secolo toccano un po’ tutti i campi della matematica. Oltre all’ipotesi del continuo, che è il primo della lista, ne ricordiamo solo tre, gli unici dei quali sia possibile dare una formulazione del tutto elementare. A questi si aggiunge il Problema 18, la cui terza parte è il problema delle palle di cannone di Keplero.
Problema 3: “Esibire due tetraedri di uguale base ed uguale altezza che non possano in alcun modo essere decomposti in tetraedri congruenti, e che non possano essere combinati con tetraedri congruenti per formare due poliedri che possano, a loro volta, essere decomposti in tetraedri congruenti.”
Dietro questo enunciato apparentemente complesso, si cela una richiesta concettualmente molto semplice. Hilbert ritiene che presi a caso due tetraedri aventi la stessa area della base e la stessa altezza, (e quindi lo stesso volume) non sia possibile dimostrare che essi hanno lo stesso volume attraverso un procedimento di “taglia-incolla”: ossia, non è possibile, in generale, effettuare nessuno dei due procedimenti 1 e 2.
1. (a) Suddividere uno dei tetraedri in pezzi poliedrici.
(b) Ricomporre i pezzi in modo da formare l’altro tetraedro.
Due poliedri per i quali sia possibile effettuare questo procedimento si dicono equidecomponibili.
2. (a) Suddividere entrambi i tetraedri nello stesso insieme di pezzi.
(b) Aggiungere ad ogni insieme gli stessi nuovi pezzi.
(c) Formare, con gli insiemi di pezzi così ottenuti, due poliedri equidecomponibili.
Questi procedimenti possono essere applicati, in vari modi, per provare il teorema di Pitagora (vedi dimostrazione del tipo 1, dimostrazione del tipo 2).
Il matematico M. Dehn risolse il Problema 3 di Hilbert a meno di un anno dalla sua proclamazione: egli dimostrò che esistono due tetraedri che non sono equidecomponibili, e che non possono essere completati a poliedri equidecomponibili. La situazione è ben diversa per le figure piane: infatti, come provò W. F. Bolyai nel 1833, due poligoni di uguale area sono sempre equidecomponibili. In particolare, ogni poligono può essere trasformato in un quadrato mediante un procedimento “taglia e incolla”. Ciò completa un risultato già noto ad Euclide, che, nella Proposizione 14 del Libro II degli Elementi mostra come eseguire la trasformazione con riga e compasso.
Problema 7: Se è un numero reale algebrico diverso da 0 e da 1, e β è un numero irrazionale e algebrico, è vero che allora il numero
β
è trascendente?
Un numero reale si dice algebrico se è radice di un polinomio non nullo a coefficienti interi; altrimenti si dice trascendente. È chiaro che ogni numero trascendente è irrazionale. Il numero e di Eulero ed il numero p sono trascendenti.
Anche il Problema 7 è stato risolto: nel 1934 Gelfond dimostrò che la risposta è affermativa. Tuttavia non si sa ancora cosa accada quando e β sono trascendenti. Sono stati trattati solo casi particolari: è stato provato, ad esempio, che
ep
è trascendente. Però si ignora se lo siano anche i numeri
pp, pe, ee.
Problema 10: Esiste un algoritmo universale per stabilire la risolubilità di una qualunque equazione diofantea ?
La risposta in questo caso è negativa: la dimostrazione è stata elaborata tra il 1960 ed il 1970 da Martin Davis, Hilary Putnam, Julia Robinson e Yuri Matyasevitch.
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