Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

La timidezza e l’arroganza sono aspetti caratteriali degli individui, che si riflettono anche nelle loro opere e nei loro pensieri. La matematica ha manifestato il massimo della propria arroganza intellettuale a cavallo tra l’Ottocento e il Novecento, quando venne intrapreso un progetto faraonico, nello stile della torre di Babele: si trattava di costruire un sistema assiomatico onnicomprensivo, nel quale sarebbe stato possibile dimostrare tutte e sole le verità matematiche.
Il progetto di questo sistema fu sviluppato in Germania da Gottlob Frege nel 1884, e in Inghilterra da Bertrand Russell e Alfred North Whitehead tra il 1910 e il 1914. Vennero prodotti in tutto cinque ponderosi volumi, rispettivamente intitolati I fondamenti dell’aritmetica e Principia mathematica, che avevano come scopo di ridurre l’intera matematica presente e futura alla sola logica. In precedenza, nel 1879, lo stesso Frege aveva già sviluppato una Ideografia che estendeva la logica aristotelica, e la formalizzava alla maniera dei moderni linguaggi di programmazione.
Queste opere sembravano costituire le basi per la realizzazione dell’antico sogno di Leibniz, che nella seconda metà del Seicento aveva immaginato un mondo in cui non esistessero più le dispute fra avvocati, diplomatici o filosofi. Secondo lui, che apparteneva a tutte e tre le categorie, nel futuro i suoi colleghi non avrebbero più arrogantemente discusso fra loro, ma si sarebbero limitati a sedersi attorno a un tavolo, e avrebbero timidamente risolto i contenziosi proponendo semplicemente un «Calculemus!».
Le opere di Frege e Russell sembravano aver realizzato il sogno di Leibniz, e nel 1930 il giovane logico austriaco Kurt Gödel dimostrò che, almeno per la logica, in parte era proprio così. Il sistema logico di Frege e di Russell permetteva infatti di dimostrare tutte e sole le verità logiche, e rimaneva soltanto da ridurlo a un calcolo meccanico.
Ma nel 1931 lo stesso Gödel dimostrò che invece non era così per l’aritmetica, e meno che mai per l’intera matematica. In particolare, esistevano delle verità aritmetiche che non si potevano dimostrare nei sistemi di Frege e di Russell. E il problema non era dovuto ai loro particolari sistemi: qualunque altro sistema avrebbe avuto un problema analogo, e non avrebbe potuto dimostrare tutte e sole le verità aritmetiche.
Quella di Gödel fu una grande lezione di umiltà, e una rivendicazione della timidezza in matematica. Anzitutto, quella personale di Gödel stesso, la cui vita divenne proverbiale come esempio di reclusione in una torre d’avorio, con le porte sbarrate a quasi tutti i suoi simili: faceva eccezione soltanto un piccolo drappello di selezionatisismi amici intimi, fra i quali spiccava Albert Einstein. E poi, quella universale della matematica, che dovette rinunciare all’idea di un meccanismo che avrebbe ridotto la scoperta della verità a un mero calcolo.
Anche la timidezza ha i suoi vantaggi, comunque, nel 1936 il giovane logico inglese Alan Turing ricevette dal suo relatore di tesi il compito di tradurre in termini più comprensibili i risultati di Gödel, che rimanevano largamente inaccessibili per la loro difficoltà e profondità. Turing li tradusse modestamente in termini di macchine calcolatrici, e dalla traduzione scaturirono due conseguenze inattese.
Anzitutto, col senno di poi, la tesi di Turing risultò essere il progetto del primo calcolatore programmabile. Lui provò inutilmente a trovare i finanziamenti per realizzarlo concretamente, e l’Inghilterra perse così l’occasione di diventare la prima potenza informatica del mondo, permettendo che fossero gli Stati Uniti a costruire la prima “macchina universale di Turing”.
Inoltre, divenne chiaro che per la matematica le cose stavano anche peggio di come sembrava. Turing dimostrò infatti che anche la logica aveva i suoi problemi. In particolare, benché Gödel avesse provato che i sistemi di Frege e Russell permettono di dimostrare tutte e sole le verità logiche, non esisteva comunque nessun programma di computer che permettesse di farlo meccanicamente. I vantaggi della logica nei confronti del resto della matematica erano dunque soltanto teorici, e non pratici, e anche la logica dovette dismettere l’arroganza e imparare la timidezza.
Qualcosa di simile è successo anche in fisica. L‘analogo del sistema universale di Frege e Russell è in questo caso la fantomatica “teoria del tutto”, che dovrebbe mettere insieme la relatività di Einstein e la meccanica quantistica. L’analogo del teorema di Gödel è il principio di indeterminazione di Heisenberg, che impedisce di misurare simultaneamente sia la posizione sia la velocità di una particella con precisione arbitraria. L’analogo del teorema di Turing sono gli esperimenti di Aspect, Clauser e Zeilinger, premiati con il Nobel nel 2022, che escludono per la realtà microscopica una descrizione analoga a quella che usiamo per la realtà macroscopica. Viva dunque la timidezza in fisica e in matematica, e abbasso l’arroganza! —

PIERGIORGIO ODIFREDDI