Domenicale, 22 ottobre 2023
Biografia di Carl Friedrich Gauss
il genio che divise in 17 parti il cerchioCarl Friederich Gauss. Tradotte per la prima volta dal latino all’italiano «Le ricerche aritmetiche» che segnano la nascita della teoria dei numeri e una pietra miliare nella storia della matematicaUmberto Bottazzini«Africa. Le collezioni dimenticate». Scudo dono di un comandante etiope a Vittorio Emanuele III di Savoia, 1936, Torino, Musei Reali, dal 27 ottobre al 25 febbraio 2024 «I principi su cui si basa la divisione del cerchio, e la sua divisibilità geometrica in 17 parti». Con questa nota (in latino) del 30 marzo 1796 il diciannovenne Carl Friedrich Gauss, il futuro princeps mathematicorum, inaugura il diario cui per quasi vent’anni affida le proprie scoperte matematiche. È un risultato epocale, che dopo duemila anni va oltre quanto dimostrato da Euclide, e lo convince a dedicarsi alla matematica e non alla filologia e lo studio delle lingue classiche, che pure ha coltivato con passione altrettanto grande.
Quali sono «i principi» scoperti da Gauss, e cosa significa la «divisibilità geometrica» del cerchio in 17 parti (uguali)? Negli Elementi Euclide aveva insegnato a costruire con riga e compasso i poligoni regolari di 3, 4, 5 e 15 lati (e naturalmente i poligoni regolari che si ottengono dividendo per due i loro lati, ossia l’esagono, l’ottagono, il decagono, e così via reiterando il procedimento). Costruire un poligono regolare alla maniera di Euclide equivale a dividere un cerchio con riga e compasso in tante parti uguali quanti sono i lati del poligono – ecco cosa Gauss intende per «divisibilità geometrica» del cerchio.
La grande intuizione del giovane è la natura algebrica della questione, che egli renderà nota anni dopo proprio nelle Disquisitiones arithmeticae, (1801), le Ricerche aritmetiche, che per la prima volta vengono messe a disposizione del lettore italiano con questa traduzione «che si attiene nel modo più scrupoloso possibile alla lettera» della prosa gaussiana. «Mi sono applicato per la prima volta a questo genere di ricerche all’inizio del 1795, ignaro di tutti i risultati ottenuti dai più moderni su questo terreno, e di tutti i mezzi con cui avrei potuto venirne a conoscenza», confessa Gauss nella Prefazione. D’altra parte, fin dall’infanzia nella nativa Braunschweig aveva dato prova delle sue straordinarie capacità nella scienza dei numeri, e ancora in età avanzata amava raccontare episodi che mettevano in luce il suo precoce genio matematico. Come quella volta che, nella classe di matematica, il maestro aveva dato come compito agli alunni di scrivere e sommare tra loro i numeri da 1 a 100. Mentre i compagni si affaticavano in lunghe addizioni, egli si era limitato a scrivere il risultato 5050 dicendo al maestro: «eccolo», per poi spiegare come l’aveva ottenuto praticamente senza calcoli. Gauss aveva allora dieci anni. Quando la notizia del suo eccezionale talento per la matematica giunse alle orecchie del duca di Braunschweig, questi decise di aiutare quel ragazzo cresciuto in una famiglia di modeste condizioni e gli assicurò un sostegno economico per proseguire gli studi, prima nel locale Collegio Carolino, poi all’università di Gottinga, e infine – dopo la laurea nel 1799 – uno stipendio per dirigere l’Osservatorio astronomico e insegnare all’università. Non era dunque per una (allora piuttosto usuale) forma di piaggeria che Gauss dedicava le sue Ricerche al «Serenissimo principe» riconoscendo che «la Tua grazia» gli aveva «aperto il primo ingresso alle scienze» e poi sostenuto gli studi e consentito di dedicarsi completamente alla scienza matematica, «verso la quale sono sempre stato trasportato da un amore intenso». Queste Ricerche aritmetiche non solo segnano la nascita della moderna teoria dei numeri, ma rappresentano una pietra miliare nell’intera storia della matematica. «Le ricerche contenute in quest’opera riguardano quella parte delle Matematiche che tratta dei numeri interi, i fratti inclusi, gli irrazionali sempre esclusi», annuncia Gauss.
Certo, non si tratta di quella che si intende comunemente per aritmetica, che «quasi non si estende oltre l’arte del contare e del calcolare», ma dell’aritmetica superiore, ossia la scienza dei numeri coltivata nell’antichità da Euclide, che negli Elementi ha presentato gli aspetti introduttivi «con l’eleganza e il rigore consueti presso gli antichi», e illustrata da Diofanto risolvendo problemi che «per difficoltà e sottigliezza di artifici» adottati suscitano la nostra ammirazione per il suo grande acume. Ma sono soprattutto i moderni, da Fermat a Eulero, Lagrange e Legendre, gli autori che hanno introdotto gli aspetti più profondi di «questa divina scienza», che Gauss presenta a partire dai principi primi.
Un libro «austero» lo definisce Umberto Zannier nella Prefazione all’edizione italiana, la cui non facile lettura «è tanto attraente, quanto impegnativa e istruttiva». Un libro che per essere apprezzato richiede uno studio approfondito. Se infatti molte questioni sui numeri interi si possono formulare in termini comprensibili a chiunque, l’indagine delle proprietà dei numeri è, al contrario, un difficile percorso, affascinante e ricco di misteri, che richiede profonde conoscenze e metodi sofisticati. Le Ricerche aritmetiche, continua Zannier, offrono una «combinazione di elevatissima astrazione immaginativa e allo stesso tempo di concretezza esemplificativa», dove «i teoremi vengono molto spesso presentati come risposte a problemi espliciti, e accompagnati da esempi numerici, talvolta estesi o laboriosi».
È stato definito un libro dai sette sigilli, tanti quanti sono i capitoli che lo costituiscono, l’ultimo dei quali riguarda la ciclotomia, ossia la divisione del cerchio in parti uguali. La costruzione del poligono regolare di 17 alti è solo una conseguenza immediata della profonda teoria esposta da Gauss e, in sostanza, si riduce alla risoluzione di quattro equazioni di secondo grado, cosa che geometricamente si può fare con riga e compasso.
All’epoca, Gauss aveva cominciato la redazione di un ottavo capitolo, che tuttavia era stato costretto a tagliare per le dimensioni inaspettate assunte dalla sua opera. Quel capitolo, pubblicato solo postumo e qui opportunamente tradotto, consente di comprendere a fondo le connessioni tra vari risultati, alle quali lo stesso Gauss allude in diversi passi del testo.
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Carl Friedrich Gauss
Ricerche aritmetiche
Prefazione di Umberto Zannier, traduzione e cura di Sandro Graffi e Costanza Larese
Edizioni della Normale,
pagg. 482, € 35
dal numero dei capitoli è definito un libro dai sette sigilli, l’ottavo viene pubblicato postumo