Cinquantamila.it La storia raccontata da Giorgio Dell'Arti

• Nel 1223, a Pisa, l’imperatore Federico II di Svevia assiste a un singolare torneo. Gli sfidanti sono i più insigni matematici dell’epoca e le armi sono carta, penna e pallottoliere. La gara consiste nel risolvere, nel minore tempo possibile, un problema matematico: «quante coppie di conigli si ottengono in un anno a partire da una sola coppia, supponendo che ogni coppia dia alla luce un’altra coppia ogni mese e che ogni coppia di conigli sia in grado di riprodursi a partire dal secondo mese di vita?». Enunciato semplice, soluzione che ha fatto la storia della matematica e che venne data in un battibaleno: il vincitore risultò Leonardo Pisano, noto con il nome di Fibonacci (Fillio Bonacci). Rispose così presto che gli sfidanti sospettarono un trucco. La soluzione di Fibonacci è semplice ed elegante: il numero totale di coppie generate alla fine di ogni mese si ottiene sommando il numero delle coppie presenti nei due mesi che lo precedono: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... . Alla fine dell’anno nella conigliera ci saranno 233 coppie di conigli. Questa successione infinita di numeri è nota ancora oggi come ”serie di Fibonacci”, la prima successione ricorsiva (in cui ogni numero può essere calcolato in funzione dei precedenti) della storia della matematica.
• Un numero che pare un soffio di vento Leonardo Pisano nacque a Pisa nel 1170. Il padre Guglielmo lavorava alla dogana del porto di Bugia, in Algeria, un posto pieno di pisano che facevano affari. Guglielmo voleva che il figlio facesse il mercante e così Leonardo bambino lo seguì a Bugia e imparò le tecniche di calcolo. Pochi anni dopo, eccolo fare il mercante in giro per il mondo: Grecia, Egitto e soprattutto Siria. Qui la svolta: studia sul serio matematica e scienze e impara il sistema numerico arabo, ancora sconosciuto in Italia. Attorno al 1200 torna definitivamente a Pisa e scrive un trattato colossale, il Liber abaci, compendio di tutte le conoscenze algebriche e matematiche del tempo e contributo enorme allo sviluppo della cultura scientifica dell’Occidente. E’ grazie a questo libro che l’Europa scopre la numerazione araba, quella che ancora adoperiamo e soprattutto lo zero, la decima figura «che gli arabi chiamano zefiro», numero vuoto come un soffio di vento. I calcoli divennero molto più veloci, i commerci si fecero più semplici, tramontò per sempre il laborioso sistema numerico latino. La fama di Fibonacci a Pisa era ormai alle stelle. Durante il suo soggiorno in città Federico II, uomo di grande cultura e appassionato di matematica e scienze, lo accolse fastosamente a corte e divenne poi uno dei suoi più grandi estimatori e protettori.
• Una semplice fila di somme La serie di Fibonacci compare per la prima volta nel Liber abaci, dove viene introdotta per risolvere un quesito di calcolo numerico: «quanti oggetti sono trasportati da sette vecchie che si recano a Roma, se ognuna ha sette muli, ogni mulo porta sette sacchi, ogni sacco contiene sette forme di pane, per ogni forma di pane ci sono sette coltelli e ogni coltello è contenuto in sette foderi?». Nel 1223, davanti a Federico II, ecco Fibonacci alle prese col prob!=lema dei conigli magici di Federico II: una coppia di conigli che non muoiono mai e che, a partire dal secondo mese di vita, generano una coppia di conigli magici al mese. In queste condizioni quante coppie di conigli ci saranno dopo un anno? Risposta: il primo mese e il secondo c’è solo una coppia, quella iniziale, non ancora in grado di riprodursi. All’inizio del terzo mese la femmina genera una nuova coppia e le coppie diventano quindi due. Al quarto mese la femmina iniziale genera un’altra coppia, mentre sua figlia non è ancora in grado di generare. Nella conigliera, perciò, ci sono adesso tre coppie. Al quinto mese la coppia iniziale genera una nuova coppia a cui si aggiunge anche quella della coppia nata due mesi dopo. Abbiamo così 5 coppie. E così via fino ad arrivare a 12 mesi. Il numero delle coppie di conigli all’inizio di ciascun mese è quindi: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ... Salta subito agli occhi che ciascun numero è la somma dei due numeri che lo precedono. Continuando la successione fino al dodicesimo termine si ottiene così la soluzione del problema: alla fine dell’anno ci saranno in tutto 233 coppie di conigli. Nei secoli successivi si vide che i numeri di Fibonacci stanno nascosti in un mucchio di cose: le volute delle galassie, le case delle chiocciole, le foglie degli alberi... E naturalmente anche in un sacco di roba matematica: i coefficienti binomiali, la spirale logaritmica, la sezione aurea...
• La famosa sequenza salta fuori ovunque Sommiamo due numeri, ed eleviamoli a una certa potenza. Per esempio: (a + b)2. Abbiamo studiato a scuola (per chi se lo ricorda) lo sviluppo di questa espressione: a2 + 2ab + b2. Possiamo scrivere questa espressione anche mettendo in evidenza i coefficienti. Cioè così: 1a2 + 2ab + 1b2. La parola ”binomiale” significa ”somma di due numeri” e non ci deve impressionare. Ci interessa la sequenza dei coefficienti, cioè questo 1, 2, 1. Ora, ogni potenza applicata a un binomio sviluppa una particolare sequenza e i numeri di questa sequenza si trovano tutti disposti sulle righe del famoso triangolo di Tartaglia. Il triangolo è quello che si vede voltando pagina: in ogni riga, alle estremità c’è il numero 1 e in mezzo un numero che è la somma dei due numeri che gli stanno sopra. Tra le molte proprietà del triangolo di Tartaglia c’ è anche questa: la somma dei numeri che si trovano su ogni diagonale è sempre uguale a un numero della serie di Fibonacci.
• La curva spiraleggiante di Bernoulli A Basilea, in Svizzera, sulla tomba del grande matematico Jakob Bernoulli, è scolpita una curva spiraleggiante. Bernoulli desiderava che fosse accompagnata anche da una frase: «Eadem mutata resurgo» (Cambiata rinasco uguale). La figura geometrica che racchiude questa affascinante proprietà è la spirale logaritmica: si allunga incurvandosi sempre più e prosegue indefinitamente verso l’interno e verso l’esterno, ma senza raggiungere mai il centro, intorno a cui la curva continua ad avvolgersi indefinitamente. Gli strumenti necessari per disegnare questa curva sinuosa sono righello, compasso e numeri di Fibonacci. Se si disegnano uno vicino all’altro una serie di quadrati, il cui lato è uguale alla somma dei due che lo precedono (proprio la proprietà che contraddistingue i numeri della serie di Fibonacci) e si tracciano con il compasso delle porzioni di circonferenze, si ottiene una perfetta spirale logaritmica. Questa figura non è una semplice astrazione matematica, ma permea letteralmente il nostro universo. Galassie come la nostra Via Lattea hanno la forma precisa di spirali logaritmiche; corna, zanne e artigli di alcuni animali si avvicinano alla forma della spirale; la conchiglia del Nautilus, il mollusco famoso perché i naturalisti lo considerano un vero e proprio fossile vivente, è una perfetta spirale logaritmica.
• Il Partenone e le piramidi. I numeri di Fibonacci non compaiono soltanto nelle opere della natura, ma anche nelle più maestose opere architettoniche costruite dall’uomo nei secoli. La serie di Fibonacci è infatti intimamente legata al rapporto aureo, un numero che indica le proporzioni più armoniose tra due segmenti di diversa lunghezza. La proporzione fu largamente utilizzata dai Greci (per esempio nella costruzione del Partenone) e ancora prima dagli Egiziani nella costruzione delle piramidi. Leonardo da Vinci indicò il rapporto aureo come il rapporto esteticamente più piacevole tra le lunghezze delle diverse parti del corpo umano; l’astronomo Johannes Kepler considerava il rapporto aureo come uno dei due gioielli della geometria insieme al teorema di Pitagora. La ”divina proporzione” compare anche nel Rinascimento, in molte opere di Michelangelo, Brunelleschi, Bramante e Tiziano. Preso un segmento, lo si divida in due parti in modo che il rapporto tra le due parti sia uguale al rapporto tra l’intero segmento e la parte più lunga. Il problema ha sempre un’unica soluzione e questa soluzione è sempre 1,618..., che è infatti il numero del rapporto aureo. Ora, se si prende un qualunque numero della serie di Fibonacci e lo si divide per il suo precedente, si ottiene sempre 1,6... e, man mano che si adoperano numeri più grandi, ci si avvicina sempre di più a 1,618. Perciò, se si vogliono disegnare rettangoli armoniosi, si assegnino alla base e all’altezza due numeri consecutivi di Fibonacci: 8 e 5, 13 e 8, 21 e 13, ecc. In certi esperimenti recenti si sono mostrati a gruppi di persone vari rettangoli, con diversi rapporti tra base e altezza. Richiesti di mostrare i rettangoli che destavano in loro una maggiore sensazione di armonia, tutti indicarono i rettangoli formati dai numeri di Fibonacci. Infatti gli esperti di marketing, mai indifferenti a bellezza ed eleganza, distribuiscono carte sim dei cellulari e carte di credito che rispettano sempre la divina proporzione.
• I sistemisti della roulette conoscono benissimo la sequenza di Fibonacci che al tavolo verde viene piuttosto chiamata ”montante”. Qual è il modo di adoperarla con profitto? Semplice: si punta una fiche sul rosso e se si perde se ne punta un’altra e se si perde se ne puntano due, poi (continuando a perdere) tre, cinque, otto e così via seguendo la celebre sequenza. Come se si salisse una scala fatta di gradini segnati con i numeri di Fibonacci. Appena si vince si ricomincia a scendere: quando si incassano finalmente (per restare al nostro esempio) tredici fiches, bisogna continuare puntandone otto e, se si vince, continuare a scendere scommettendone cinque e così via fino a tornare al primo gradino. Qual è il vantaggio di questo sistema? Questo: supponiamo di giocare dieci colpi, di perdere i primi cinque e di vincere i secondi cinque. Se si applica lo stesso metodo dei gradini descritto sopra alla scala dei numeri naturali (1, 2, 3, 4, 5: alla roulette questa si chiama ”montante d’Alembert”) al decimo colpo si saranno vinte 5 fiches e se ne saranno impegnate complessivamente 35. Se si gioca con Fibonacci, al decimo colpo le fiches vinte saranno 7 e quelle impegnate 31. Il vantaggio per Fibonacci aumenta col numero dei colpi. Consigliamo, naturalmente, molta prudenza...
• Che cosa accomuna i petali dei fiori, i semi dei girasoli, la forma delle pigne e degli ananas, la disposizione delle foglie attorno ai rami di una pianta? Naturalmente, la serie di Fibonacci. Perché i petali dei fiori sono spesso 3, 5, 8, 13, 21, 34 o 55? Per esempio il giglio ha tre soli petali, il ranuncolo ne ha 5, la margherita ne ha spesso 34 o 55. Se osserviamo attentamente un girasole notiamo che i semi si avvolgono gli uni attorno agli altri secondo due spirali ben distinte, che seguono due versi opposti. Il numero di spire non è lo stesso da entrambe le parti: in generale si trovano 21 e 34 spire, 34 e 55, 55 e 89 o anche 89 e 144. Cioè, numeri di Fibonacci. Idem per la disposizione delle placche delle pigne, 8 da una parte e 13 dall’altra, e nelle diagonali di un ananas, 8 in una direzione e 13 nell’altra. Le foglie poi sono disposte sui rami in modo da farsi ombra il meno possibile. Partendo dalla prima foglia di un ramo e seguendo la distribuzione delle altre a spirale si nota che il numero di giri necessari per incontrare una foglia che si sovrappone a quella iniziale è sempre 3, 5, 8. Cioè numeri di Fibonacci. Nei fiori, nei girasoli, nei frutti e nelle piante c’è dunque parecchia matematica. E possiamo dirlo: la natura non conta a caso.